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一、概念

容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。简单来说就是要做到不重不漏。此类题目的题目特点为：题中给出多个概念，各个概念之间有集合关联。

二、解题原则

将重复计数的次数变为一次，或者说是把重叠的面积变为一层，做到不重不漏。即先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数量先计算出来，然后再把计数时重复计算的数量剔除掉，把遗漏的数量补上，使得计算结果既无遗漏又无重复。

三、解题方法——公式法

1.两者容斥： 2.三者容斥： 3.容斥极值： 四、经典例题

【例1】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有多少人?

A.13 B.10 C.5 D.8

【解析】C。根据题目可知题中涉及的项目共有两个，属于二者容斥的问题。直接利用两者容斥的公式将相关数据带入可得： ，求得 。选择C选项。

【例2】学校开设三门选修课，某年级有240人，其中有120人选择英语写作，有95人选择书法，有78人选择精算学，其中有105人选择三种学科中的至少两种，30人三中学科都选择了，问该年级三种都没选的有多少人?

A.122 B.82 C.112 D.216

【解析】B。认真分析题目不难发现题中共出现了三个项目，因此该题为三者容斥问题。在该题中要注意的是题中说有105人选择三种学科中的至少两种，至少两种包含了两种及三种两种情况。因此根据公式结合不重不漏的原则可得： ,将相关数据带入可以求得： 。故选择B。

【例3】一次考试共有200人参加，试卷共5道题，凡答对3题或3题以上就为合格。考试结果为：答错第一题的28人，答错第二题的42人，打错第三题的30人，答错第四题的32人，答错第五题的18人，则合格的至少有多少人?

A.120 B.175 C.150 D.100

【解析】C。分析题目可知题中涉及的项目较多有5项，且题干要求的是合格人数至少位多少，可以初步判定此为容斥极值问题。但是分析后会发现直接求解合格人数至少有多少无法求解，此时需要反向去求。要求合格人数至少即求不合格人数至多。要求不合格人数最多，根据题目可知当每人只错三题时不合格人数最多。而答错的总题数为： ，所以不合格人数最多为 ，则合格人数至少为： 。选择C选项。