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发布时间：2019年11月01日

关于A-Level，什么是A-Level考试？

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　首先，我们说“一次”的三角函数，包括sin x, cos x, tan x, cot x, sec x,cosec x. 大家首先要知道这六个三角函数可以直接求积分的，即如下积分公式：　　而且大家要知道tan x 和cot x 求积分时涉及到如下积分技巧：　　例如：　　同样cot x的积分大家可以用同样的方法自己推导一下。　　下面我们说“二次”的三角函数，主要包括sin2 x, cos2 x, sinxcosx, tan2x,cot2x, sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx。　　前三个积分主要涉及到二倍角公式和reverse chain rule，如：　　同样的方法可以得到：　　而sinxcosx的积分用到sin2x的展开式，即：　　接下来我们知道sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx的积分是可以直接用积分公式的，即：　　而tan2 x与sec2 x,cot2x与cosec2 x有重要的恒等关系式：tan2 x=sec2x-1；cot2x=cosec2 x-1，所以tan2 x与cot2 x的积分可以直接转化为sec2 x与cosec2 x进而求解。　　下面要说的三角函数积分也是“二次”的，但上面的技巧并不能解决这类问题，而要用到积化和差的技巧。例如求sin3xcos2x的积分，我们知道sin(3x 2x)=sin3xcos2x cos3xsin2x,sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x，两式相加右边即可得到2sin3xcos2x, 而左边等于sin5x sinx, 这样sin3xcos2x的积分就转化为求1/2(sin5x sinx)的积分，即“积化和差”，本质上是利用正弦或余弦的和差角展开公式。同样的方法大家可以试求下sin5xsin2x, cos3xcosx的积分。　　最后要说的三角函数积分问题主要涉及到下面的两类积分技巧：　　第一种类型我们刚才在求tan x和co tx积分时已经讲过，第二种类型如：　　求cosxsin3x的积分，我们知道sin x求导是cos x, 所以原积分等于1/4sin4x，如果不太理解可以反过来求导试试。下面的例题可供大家进一步练习：