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发布时间: 2016年06月03日

高三数学教案 黄金数与优选法

 

高三数学教案 黄金数与优选法

“黄金数”与优选法

两千多年前,古希腊数学家欧多克斯发现:如果将一条线(AB)分割成大小两段(AP、PB),若小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话,那么这一比值等于0.618…,用式子表示就是:(PB)/(AP)=(AP)/(AB)=0.618……。

有趣的是,这个数字在自然界和人们生活中到处可见:人们的肚脐是人体总长的黄金分割点,人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.168…;有些植茎上,两张相邻叶柄的夹角是137度28',这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现,这种角度对植物通风和采光效果最佳。

建筑师们对数学0.168…特别偏爱,无论是古埃及的金字塔,还是巴黎的圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,都有与0.168…有关的数据。人们还发现,一些名画、雕塑、摄影作品的主题,大多在画面的0.168…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.168…处,能使琴声更加柔和甜美。

数字0.168…更为数学家所关注,它的出现,不仅解决了许多数学难题(如:十等分、五等分圆周;求18度、36度角的正弦、余弦值等),而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度,假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间,为了求得最恰当的加入量,需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。

然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较,从中选取强度较高的两点作为新的区间,再取新区间的中点做试验,再比较端点,依次下去,直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法,如果将实验点取在区间的0.618处,那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法,也称0.618法。实践证明,对于一个因素的问题,用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达•芬奇把0.618…称为黄金数。

 

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